Ali, da li će se is­po­sta­vi­ti da su sva za­jed­nič­ka bes­ko­nač­na mno­štva ekvi­va­lent­na jed­no dru­gom? Ve­li­ko ot­kri­će Kon­to­ra se sa­sto­ja­lo u to­me što je on pro­na­šao ne­e­kvi­vi­lent­ne bes­ko­nač­no­sti. Ta­ko je jed­na od nje­go­vih za­pa­že­nih te­o­re­ma gla­si­la da su mno­štvo svih ta­ča­ka pra­ve, i mno­štvo svih pri­rod­nih bro­je­va, ne­e­kvi­va­lent­ni. Is­po­sta­vi­lo se da se na­ma naj­po­zna­ti­ja bes­ko­nač­na mno­štva di­je­le na dvi­je osnov­ne vr­ste, ta­ko da su mno­šva pr­ve vr­ste ekvi­va­lent­na jed­no dru­go­me, i da su mno­štva dru­ge vr­ste ekvi­va­lent­na jed­no dru­go­me , a da mno­štva ra­znih vr­sta ni­je­su ekvi­va­lent­ni jed­no dru­go­me. Mno­štva pr­ve vr­ste se zo­vu ra­čun­ska , i u njih spa­da­ju: pri­rod­ni niz, bi­lo ko­ji bes­ko­nač­ni dio pri­rod­nog ni­za, mno­štvo svih raz­lo­ma­ka, mno­štvo svih mo­gu­ćih kom­bi­na­ci­ja, plo­či­ce iz čet­vro­čla­nog kom­ple­ta, ob­ja­vlje­nih u igri o ko­joj smo ra­ni­je go­vo­ri­li. Mno­šva dru­ge vr­ste zo­vu se k o n t i n u i r -a n a. Ta­kva su: mno­štvo svih ta­ča­ka pra­ve, svih ta­ča­ka rav­ni, svih kru­go­va i svih dje­lo­va pri­rod­nog re­da. Po­sto­je i ta­kva bes­ko­nač­na mno­štva ko­ja ni­je­su ni ra­čun­ska, ni kon­ti­nu­i­ra­na, ali se u „ma­te­ma­tič­kom ži­vo­tu” ta­kva mno­štva ne sre­ta­ju.
Do­zvo­li­će­mo se­bi sa­da da raz­mo­tri­mo i dru­ge bro­je­ve, po­red pri­rod­nih, o ko­ji­ma smo go­vo­ri u okvi­ru po­gla­vlja „Du­ži­ne i bro­je­vi”. Ma­da sva­ki ra­ci­o­nal­ni broj mo­že bi­ti na­pi­san po­sred­stvom mno­gih raz­lo­ma­ka, ili pre­ci­zni­je, nji­ho­ve bes­ko­nač­ne ko­li­či­ne. Mno­štvo ra­ci­o­nal­nih bro­je­va je ekvi­va­lent­no mno­štvu raz­lo­ma­ka, što zna­či da su oni ra­čun­ski. S dru­ge stra­ne, kao što nam je po­zna­to iz sred­nje ško­le, sva­kom stvar­nom bro­ju mo­že se, kao po­du­dar­nost, sta­vi­ti ne­ka tač­ka na pra­voj, pri če­mu će sva­ka tač­ka bi­ti upo­re­di­va tač­no sa jed­nim bro­jem, sa svo­jom ko­or­di­nan­tom. Sa­mim tim ot­kri­va se da su mno­štvo ta­ča­ka pra­ve i mno­štvo stvar­nih bro­je­va ekvi­va­lent­ni, te da je mno­švo stvar­nih bro­je­va kon­ti­nu­i­ra­no. Kao što je već re­če­no, kon­ti­nu­i­ra­nost i ra­ču­nar­stvo ne mo­gu se sma­tra­ti istim mno­štvom. Zbog to­ga se mno­štvo ra­ci­o­nal­nih bro­je­va ne mo­že po­klo­pi­ti sa mno­štvom svih stvar­nih bro­je­va, a iz to­ga sli­je­di da po­sto­je ta­kvi stvar­ni bro­je­vi ko­ji ni­je­su ra­ci­o­nal­ni. Oni se zo­vu i r a c i o n a l n i. Na taj na­čin, sa­ma či­nje­ni­ca da po­sto­je ira­ci­o­nal­ni bro­je­vi, bez po­ka­zi­va­nja bi­lo ka­kvog ira­ci­o­nal­nog bro­ja, mo­že bi­ti re­zul­tat sa­mo op­štih raz­ma­tra­nja.
Sa­da o još jed­noj vr­sti bo­ro­je­va, o ta­ko­zva­nim a l g e b a r s- k i m bro­je­vi­ma. Stvar­ni broj zo­ve se i a l g e b a r s k i, ako pred­sta­vlja ko­ri­jen ne­ke al­ge­bar­ske jed­na­či­ne. Sva­ka jed­na­či­na ima dva di­je­la, li­je­vi i de­sni, ko­ji su raz­dvo­je­ni, ili ako ho­će­te, po­ve­za­ni zna­kom jed­na­ko­sti. A al­ge­bar­ske se na­zi­va­ju jed­na­či­ne po­seb­ne, jed­no­stav­ne vr­ste: na de­snoj stra­ni se na­la­zi broj 0, a na li­je­voj je vi­šeč­la­na, u ne­kom ste­pe­nu, sa jed­nim ci­je­lim i ne­po­zna­tim ko­je­fi­ci­jen­ti­ma, ko­ji mo­gu bi­ti, ka­ko po­zitvni, ta­ko i ne­ga­tiv­ni. Jed­nu vr­stu al­ge­bar­skih jed­na­či­na obra­zu­ju one kva­drat­ne jed­na­či­ne u ko­ji­ma su svi ko­je­fi­ci­jen­ti ci­je­li bro­je­vi.
Sva­ki ra­ci­o­nal­ni broj je al­ge­bar­ski broj, i al­ge­bar­ski bro­je­vi for­mi­ra­ju, sli­je­de­ći za ra­ci­o­nal­nim, kla­su bro­je­va po ska­li „od pro­stog ka slo­že­nom”. Ma­te­ma­ti­ča­re je du­go vre­me­na in­te­re­so­va­lo pi­ta­nje: po­sto­je li stvar­ni bro­je­vi ko­ji ni­je­su al­ge­bar­ski? Ta­kvi bro­je­vi zo­vu se „tran­scen­dent­ni.” Po­sto­ja­nje tran­sendntnih bro­je­va je bi­lo usta­no­vlje­no 1884. go­di­ne, pu­tem na­vo­đe­nja od­go­va­ra­ju­ćih do­sta slo­že­nih pri­mje­ra. Tek 1873. i 1882. go­di­ne bi­la je do­ka­za­na tran­scen­dent­nost po­zna­tih broj­va E i PI. Pa ipak, ako ni­je po­treb­no uka­zi­va­nje na k o n k r e t n e p r i m j e r e tran­scen­dent­nih bro­je­va, sa­mo nji­ho­vo po­sto­ja­nje mo­že bi­ti utvr­đe­no tim istim me­to­dom ko­jim je ra­ni­je bi­lo usta­no­vlje­no post­jo­a­nje ira­ci­o­nal­nih bro­je­va. Upra­vo je 1874. go­di­ne Kan­tor po­ka­zao da je mno­štvo svih al­ge­bar­skih jed­na­či­na ra­čun­sko, iz če­ga je jed­no­stav­no iz­ve­sti ra­ču­na­nje mno­štva al­ge­bar­skih bro­je­va. A mi zna­mo da je mno­štvo svih stvar­nih bro­je­va kon­ti­nu­i­ra­no, jer ono ni­ka­ko ne mo­že da se sa­sto­ji sa­mo iz sa­mih al­ge­bar­skih bro­je­va.
Po­jam ekvi­va­lent­no­sti slu­ži kao osno­va za po­sta­nak poj­ma ve­li­či­ne ele­me­na­ta mno­šta­va. K o l i č i n a je to što je za­jed­nič­ko kod svih mno­šta­va ko­ja su ekvi­va­lent­no jed­no dru­go­me. Za sva­ku ko­lič­nu mno­šta­va ko­ja su ekvi­va­lent­na jed­no dru­go­me, ta ko­li­či­na je svo­ja i ista za sva mno­štva te ko­lek­ci­je. Uzmi­mo za pri­mjer mno­štvo ču­da svi­je­ta, mno­štvo da­na u ne­dje­lji, mno­štvo no­ta u ga­mi, mno­štvo smrt­nih gr­je­ho­va i mno­štvo fe­de­ral­nih okru­ga u Ru­si­ji. Svi su oni ekvi­va­lent­ni. Obra­zo­va­ni či­ta­lac će ovo­me do­da­ti mno­štvo gra­do­va ko­ji se spo­re za čast da bu­du do­mo­vi­na Ho­me­ra, i mno­štvo ze­malj­skih du­ša, pri­sut­nih pre­ma uče­nju Ki­ne­za, u sva­kom čo­vje­ku. I mno­štvo stu­bo­va one ku­će mu­dro­sti o ko­joj se go­vo­ri u „Pri­ča­ma So­lo­mo­na”. I mno­štvo ne­vje­sta de­se­ta­ra Zbru­je­va. I mno­štvo mu­dra­ca na če­lu. Ako sa­da po­sma­tra­mo, ne sa­mo mno­štva ko­ja tek što smo na­bro­ji­li, ne­go i sva mo­gu­ća mno­štva ko­ja su ekvi­va­lent­na na­bro­ja­ni­ma, mi će­mo ot­kri­ti da u nji­ma po­sto­ji ne­ko je­din­stvo. To je­din­stvo je ko­li­či­na ele­me­na­ta u sva­kom od njih. U kon­kret­nom da­tom slu­ča­ju ta ko­li­či­na se zo­ve, kao što je svi­ma po­zna­to, s e d a m. A ko­li­či­na ele­me­na­ta ka­ra­te­ri­stič­na za mno­štvo Sun­če­vog si­ste­ma, i svih nje­mu ekvi­va­lent­nih mno­šta­va, na­zi­va se os a m.
(Na­sta­vi­će se)

Pre­veo i pri­re­dio:
Slav­ko Šće­pa­no­vić