Pre­veo i pri­re­dio: Slav­ko Šće­pa­no­vić

Na­da­mo se da či­ta­ac ni­je do­šao do za­ključ­ka da sva ra­čun­ska mno­štva ima­ju jed­nu te istu ko­li­či­nu ele­me­na­ta. Dje­li­mič­no, ko­li­či­na svih kva­dra­ta je jed­na­ka ko­li­či­ni svih pri­rod­nih bro­je­va. Ko­li­či­na ele­me­na­ta bi­lo kog ra­čun­skog mno­štva na­zi­va se ra­čun­skom sna­gom i ozna­ča­va se slo­vom al­fa sa ni­žim in­dek­som nu­la % o. Evo i od­go­va­ra­ju­ći ci­tat iz isto­i­me­ne Bor­he­so­ve pri­če, sa do­sta ja­snom for­mu­la­ci­jom Kor­ta­sa­ro­vog efek­ta:
„u Men­gle­hre Al­fa je sim­bol tran­sfi­nit­nih mno­šta­va gdje ci­je­lo ni­je ve­će ne­go bi­lo ko­ji od dje­lo­va”.
U ma­te­mat­ci, uop­šte, ko­li­či­na ele­me­na­ta u ne­kom mno­štvu na­zi­va se sna­gom, ili kar­di­nal­nim bro­jem tog mno­štva.
Po­ka­za­ni na­čin, či­jim po­sred­stvom je mo­gu­će po­sto­ja­nje ira­ci­o­nal­nih i tran­scen­dent­nih bro­je­va do­bi­ti na osno­vu op­štih shva­ta­nja, bez na­vo­đe­nja kon­kret­nih pri­mje­ra, mi ima­mo pra­vo da na­zo­ve­mo ko­li­čin­skim, jer je ono za­sno­va­no na ne­po­du­dar­no­sti ko­li­či­na, to jest ra­čun­skih ko­li­či­na, svoj­stve­noj, ka­ko mno­štvu ra­ci­o­nal­nih, ta­ko i mno­štvu al­ge­bar­skih bro­je­va kon­ti­nu­i­ra­ne ko­li­či­ne svoj­stve­ne mno­štvu svih stvar­nih bro­je­va.
Sa­da ne­što o upo­re­đi­va­nju ko­li­či­na. Dvi­je ko­li­či­ne mo­gu bi­ti jded­na­ke, ili ne­jed­na­ke. Naj­pri­je da shva­ti­mo šta to zna­či. Sva­ka ko­li­či­na je pred­sta­vlje­na kom­ple­tom svih mo­gu­ćih mno­šta­va ekvi­va­lent­nih jed­no dru­gom. Jed­na­kost ko­li­či­na ozna­ča­va po­du­dar­nost od­go­va­ra­ju­ćih kom­ple­ta, a ne­jed­na­kost nji­ho­vu ne­po­du­dar­nost. Se­dam, pre­ma to­me ni­je jed­na­ko sa osam. Kom­plet svih mno­šta­va ekvi­va­lent­nih mno­štvu smrt­nih grej­ho­va se ne po­du­da­ra sa kom­ple­tom svih mno­šta­va ekvi­va­lent­nih mno­štvu pla­ne­ta. Ko­li­či­na kva­dra­ta je, pre­ma to­me, jed­na­ka ko­li­či­ni pi­rod­nih bro­je­va, kao što je kom­plet svih mno­šta­va ekvi­va­lent­nih mno­štvu kva­dra­ta, po­du­da­ran sa ko­li­či­nom svih mno­šta­va ekvi­va­lent­nih pri­rod­nom ni­zu. Ali, že­lje­li bi­smo da ima­mo pra­vo da go­vo­ri­mo ne sa­mo o jed­na­ko­sti i ne­jed­na­ko­sti dvi­je ko­li­či­ne, ne­go i o to­me ko­ja je od njih ve­ća, a ko­ja ma­nja.
Pi­ta­će­mo sa­da na­ma već po­zna­te pr­vo­bit­ne sto­ča­re, ko­ji ne umi­ju da bro­je, mo­gu li oni utvr­di­ti u ko­jem je od nji­ho­vih sta­da vi­še gr­la, pod pret­po­stav­kom da su sta­da raz­li­či­ta po bro­ju. Nji­hov od­go­vor će bi­ti po­zi­ti­van. Ako u sta­du ko­za us­pi­ju da odvo­je dio ko­ji se ne po­du­da­ra sa či­tavm sta­dom, ko­je je ekvi­va­lent­no sa mnštvom ova­ca, on­da pro­iz­i­la­zi da je ve­ći broj u sta­du ko­za. Isto ta­ko, ako u sta­du ova­ca us­pi­ju da iz­dvo­je ta­kav dio ko­ji ni­je po­du­da­ran sa či­ta­vim sta­dom, a po­du­da­ran je sa sta­dom ko­za, on­da is­pa­da da je ve­ći broj gr­la u sta­du ova­ca. Pa ipak, ova­kav na­čin, kao što smo već vi­dje­li, ni­je po­go­dan u slu­ča­ju bes­ko­nač­nih mno­šta­va. I stvar­no, u pri­rod­nom ni­zu mo­že­mo iz­dvo­ji­ti dio oji se sa njim ne po­du­da­ra, ko­ji je ekvi­va­len­tan mno­štvu kva­dra­ta. Tim pri­je, pri­rod­ni niz i mno­štvo kva­dra­ta, kao što smo već vi­dje­li, su ekvi­va­lent­ni. Šta da se ra­di? Tre­ba iz­mi­sli­ti ta­kav kri­te­rij ko­ji dje­lu­je pi­mjen­lji­vo na bi­lo ko­ja mno­štva. Rje­še­nje se sa­sto­ji u to­me da sva­ki od po­mi­nja­nih sto­ča­ra svo­joj for­mu­la­ci­ji do­da ne­ku kla­u­zu­lu, ko­ja bi bi­la su­vi­šna u pr­vom slu­ča­ju, ali neo­p­hod­na u slu­ča­ju bes­ko­nač­no­sti. Kla­u­zla se sa­sto­ji u po­tre­bi ne­e­kvi­va­lent­no­sti mno­šta­va ko­ja se upo­re­đu­ju. Pu­na for­mu­la­ci­ja to­ga da je ko­li­či­na ele­me­na­ta pr­vog mno­štva ta­kva, da su mno­štva ne­e­kvi­va­lent­na, ali u pr­vom mno­štvu po­sto­ji dio ko­ji je ekvi­va­len­tan dru­gom mno­štvu.
Sa­da mo­že­mo re­ći da je kon­ti­nu­i­ra­na sna­ga ve­ća od ra­čun­ske. U stva­ri, te sna­ge su raz­li­či­te, ali da se u kon­ti­nu­i­ra­nom mno­štvu stvar­nih bro­je­va mo­že odvo­ji­ti ra­čun­ski dio, na pri­mjer, pri­rod­ni niz. Ra­čun­ski dio se mo­že odvo­ji­ti u bi­lo kom bes­ko­nač­nom mno­štvu. Zbod to­ga je ra­čun­ska sna­ga naj­ma­nja od svih bsko­nač­nih sna­ga. Jed­na od Kan­to­ro­vih te­o­re­ma tvr­di da je ko­li­či­na sva­kog mo­gu­ćeg di­je­la uvi­jek ve­ća ne­go ko­li­či­na ele­me­na­ta u sa­mom tom mno­štvu. Po­seb­no, ko­li­či­na svih dje­lo­va pri­rod­nog ni­za je ve­ća od ra­čun­ske ko­li­či­ne pri­rod­nih bro­je­va, jer je ona bes­ko­nač­na. A ko­li­čia svih dje­lo­va pra­ve li­ni­je je ve­ća od kon­ti­nu­ra­ne ko­li­či­ne ta­ča­ka na njoj.
(Na­sta­vi­će se)