Pre­veo i pri­re­dio: Slav­ko Šće­pa­no­vić

Su­prot­sta­vlja­nje ra­čun­skih i ne­ra­čun­skih bes­ko­nač­nih mno­šta­va vo­di ka po­sle­di­ci ko­ja se na­la­zi na spo­ju se­mi­o­ti­ke i gno­se­o­lo­gi­je. A upra­vo se is­po­sta­vlja da su to mo­gu­će su­šti­ne ko­je se ne mo­gu ime­no­va­ti. Po­ku­ša­će­mo da tu si­tu­a­ci­ju iz­lo­ži­mo što je mo­gu­će ja­sni­je. Ka­da mi ne­što na­zi­va­mo, mi to ne­što snab­di­je­va­mo ime­nom. Sva­ko ime pred­sta­vlja ko­nač­ni niz zna­ko­va oda­bra­nih iz da­tog si­ste­ma ime­na ko­nač­nog spi­ska zna­ko­va. A bi­lo ko­ji ko­nač­ni spi­sak zna­ko­va u ma­te­ma­ti­ci na­zi­va se azbu­ka. Ona te zna­ke pred­sta­vlja slo­vi­ma, a sva­ki ko­nač­ni la­nac slo­va ri­ječ­ju u da­toj azbu­ci. Ni­je se te­ško uvje­ri­ti u to da, ako uzme­mo bi­lo ko­ju azbu­ku, mno­štvo svih ri­je­či u njoj će bi­ti ra­čun­sko. Sa­mim tim ne­će bi­ti ni­šta vi­še ra­čun­ski bi­lo ko­ji si­stem ime­na, stvo­ren na osno­vu te azbu­ke. Taj si­stem mo­že bi­ti ili ra­čun­ski, ili ko­nač­ni. I, ako mi ima­mo po­sla sa bes­ko­nač­nim mno­štvom obje­ka­ta, u tom mno­štvu će se, sva­ka­ko, sre­sti objek­ti, i to čak vr­lo mno­go ta­kvih obje­ka­ta, za ko­je se u raz­ma­tra­nom si­ste­mu ni­ka­ko ne mo­gu na­ći ni­ka­kva ime­na. Bi­lo ka­kav si­stem ime­na da iz­mi­sli­mo, uvi­jek će se is­po­sta­vi­ti da ne­ma ime­na za ne­ke dje­lo­ve pri­rod­nog ni­za, i za tač­ke na pra­voj li­ni­ji.
Tek sa­da se na­ve­de­na shva­ta­nja mo­gu is­ko­ri­sti­ti za do­ka­zi­va­nje ra­čun­stva mno­šta­va al­ge­bar­skih bro­je­va, i u skla­du sa tim, za do­ka­zi­va­nje po­sto­ja­nja tran­scen­dent­nih bro­je­va. Po­zna­to je da su za sva­ku al­ge­bar­sku jed­na­či­nu nji­ho­va mno­štva od stvar­nih ko­ri­je­na, to jest ta­kvih stvar­nih bro­je­va ko­ji slu­že kao ko­ri­je­ni tih jed­na­či­na, i uvi­jek su ko­nač­na. Ras­po­re­di­mo to mno­štvo po re­du na­sta­ja­nja ta­ko da sva­ki ko­ri­jen do­bi­je svoj broj u tom ras­po­re­du. Re­ći će­mo da je ime da­tog al­ge­bar­skog bro­ja za­pis ko­ji se sa­so­ji od za­bi­lje­ške bi­lo ko­je al­ge­bar­ske jed­na­či­ne, či­ji ko­ri­jen pred­sta­vlja da­ti broj, i red­nog bro­ja tog ko­ri­je­na me­đu svim ko­ri­je­ni­ma te jed­na­či­ne. Za­jed­nič­ka ko­li­či­na svih, na taj na­čin upi­sa­nih ime­na je ra­čun­ska. Iz ovo­ga se la­ko iz­vla­če dva fak­ta. Pr­vo, is­po­sta­vlja se da je ra­čun­ska ko­li­či­na bro­je­va ko­ji su do­bi­li ime, u da­tom mo­men­tu i al­ge­bar­ski bro­je­vi. Dru­go, mno­gi stvar­ni bro­je­vi ne do­bi­ja­ju svo­je ime, i oni su, u stva­ri, tran­scen­dent­ni bro­je­vi.
Po­ja­vlju­je se pi­rod­no pi­ta­nje: po­sto­je li pe­ri­o­dič­ni in­ter­va­li me­đu ra­čun­skim i kon­ti­nu­i­ra­nim mo­ći­ma. Dru­ga­či­je go­vo­re­ći, pi­ta­nje se sa­so­ji u to­me ko­je je od ova dva al­ter­na­tiv­na tvr­đe­nja is­prav­no:
Po ko­li­či­ni ele­me­na­ta kon­ti­nu­um stvar­nih bro­je­va do­la­zi od­mah iza pri­rod­nog ni­za, ili pak
U pri­ka­za­nom kon­ti­nu­u­mu mo­že se iz­dvo­ji­ti in­ter­val­no mno­štvo, to jst ta­kav bes­ko­nač­ni dio ko­ji po sna­zi ni­je jed­nak, ni či­ta­vom kon­ti­nu­mu, ni pri­rod­nom ni­zu.
Hi­po­te­za da je oprav­da­na pr­va od ove dvi­je tvrd­nje na­zva­na je hi­po­te­za kon­ti­nu­u­ma, ili kon­ti­nu­um – hi­po­te­za, a po­tre­ba da se ta hi­po­te­za do­ka­že, ili opo­vrg­ne, zo­ve se pro­blem kon­ti­nu­u­ma. Kan­tor je 1877. go­di­ne ob­ja­vio da kon­ti­nu­u­um hi­po­te­za pred­sta­vlja ma­te­ma­tič­ku isti­nu i od 1879. go­di­ne je po­čeo u na­stav­ci­ma ob­ja­vlji­va­ti trak­tat ko­ji je imao za cilj da tu isti­nu do­ka­že. Čla­nak od šest na­sta­va­ka bio je za­vr­šen 15. no­vem­bra 1883. go­di­ne. On je sa­dr­žao do­kaz da je in­te­gral­no mno­štvo, ne­sum­nji­vo, od­sut­no u od­re­đe­noj vr­sti mno­šta­va, i obe­ća­nje da će u sle­de­ćim član­ci­ma do­ka­za­ti da ta­kvo mno­štvo uop­šte i ne po­sto­ji, to jest da će do­ka­za­ti hi­po­te­zu o nje­nom pu­nom obi­mu. Pa, ipak, obe­ća­ni sle­de­ći član­ci se ni­je­su po­ja­vi­li. Kan­tor je shva­tio da on ne mo­že do­ka­za­ti kon­ti­nu­um hi­po­te­zu, i u ma­ju 1884. go­di­ne do­bio je pr­vi na­stup ner­vne bo­le­sti. Sre­di­nom XX vi­je­ka je bi­lo usta­no­vlje­no da je kon­ti­nu­um – hi­po­te­zu ne­mo­gu­će ni do­ka­za­ti, ni opo­vrg­nu­ti. Ov­dje će­mo se za­u­sta­vi­ti, pla­še­ći se da ne do­ži­vi­mo Kan­to­ro­vu sud­bi­nu.
Go­vo­re­ći je­zi­kom lin­gvi­sti­ke, ovo či­me smo se ov­dje ba­vi­li, je se­man­ti­ka ko­li­čin­skih bro­ji­la­ca: je­dan, dva, tri.., če­tr­de­set osam.., dvi­je hi­lja­de se­dam... mo­že bi­ti do­pu­njen bes­ko­nač­nim bro­je­vi­ma – al­fa o.
Ali, po­sto­je i red­ni bro­je­vi: pr­vi, dru­gi, tre­ći, i ta­ko da­lje. Krat­ko će­mo go­vo­ri­ti o nji­ma. Po­sto­ji i usme­ni iz­raz (ime) ko­li­čin­ski broj. Da bi­smo raz­li­ko­va­li red­ne bro­je­ve od ko­li­čin­skih, mi će­mo ih, u kraj­njem slu­ča­ju, ozna­ča­va­ti rim­skim ci­fra­ma, kao što je to uobi­ča­je­no u ru­skoj or­fo­gra­fi­ji. Red­ni broj je sam po se­bi su­šti­na za ko­ju ne­će­mo ov­dje pred­lo­ži­ti od­re­đe­nu, ne­go aso­ci­ja­tiv­nu ilu­stra­ci­ju. Sa tim ci­ljem se ov­dje obra­ćam svo­jim dječ­jim osje­ća­ji­ma. Ka­sni­je sam, u stu­dent­skim da­ni­ma sa ču­đe­njem sa­znao da ta­kav osje­ćaj u dje­tinj­stvu ni­je­sam imao sa­mo ja.
Ta­ko je bi­lo u ra­nom dje­tinj­stvu. Raz­mi­šljam: ka­ko sam ja loš. A on­da mi u gla­vu do­la­zi mi­sao da ako sam ja shva­tio da sam loš, to zna­či da sam ja do­bar. Ali ako ja se­be sma­tram do­brim, to zna­či da sam loš. Ka­kvu sam za­pa­že­nu i bes­kraj­nu ska­lu ja stvo­rio hva­le­ći i ku­de­ći se­be. Loš sam što se hva­lim da sam do­bar. A do­bar sam što shva­tam da sam loš. I ta­ko da­lje. Ovo je ilu­stra­ci­ja poj­ma red­nog bro­ja. U stva­ri, pri­rod­no je ste­pe­ni­ce stvo­re­ne ska­le na­zi­va­ti ri­je­či­ma „pr­va”, „dru­ga”, „tre­ća”, i ta­ko da­lje.
(Na­sta­vi­će se)