Pre­veo i pri­re­dio: Slav­ko Šće­pa­no­vić

Pro­i­za­šao je ova­kav di­ja­log:
Ve­ne­dik­tov: Re­ci­te, da li se pa­ra­lel­ne pra­ve si­je­ku?
Slu­ša­lac: Ne.
Ve­ne­dik­tov: A eto, kod Lo­ba­čev­skog se si­je­ku, ta­mo je dru­gi si­stem od­bro­ja­va­nja.
Kao što je po­zna­to, sva­ko ima svo­je mi­šlje­nje, a isti­na je sa­mo jed­na, i ona se sa­sto­ji u to­me što se pa­ra­lel­ne pra­ve ne si­je­ku, čak ni kod Lo­ba­čevskg.
Pri­ro­da mi­to­lo­ške pred­sta­ve o ot­kri­ću Lo­ba­čev­skog je ja­sna. Svi zna­ju da se u nje­go­voj ge­o­me­ti­ji do­ga­đa ne­što neo­bič­no sa pa­ra­lel­nim pra­vi­ma. A što mo­že bi­ti neo­bič­ni­je od to­ga da se one si­je­ku! Po­ra­ža­va, ipak, ste­pen ras­pro­stra­nje­no­sti te pred­sta­ve. Uosta­lom, apo­lo­get ma­te­ma­ti­ke ima pra­vo na osje­ćaj za­kon­skog za­do­volj­stva. U ma­sov­noj svi­je­sti su pri­sut­ne ne­ka­kve ma­te­ma­tič­ke pred­sta­ve, ma­kar bi­le i la­žne!
U in­te­re­su isti­ne, a ne u in­te­re­su mi­šlje­nja, sa­op­šti­će­mo što se do­ga­đa u ge­o­me­tri­ji Lo­ba­čev­skog. Raz­li­ka iz­me­đu ge­o­me­tri­je Lo­ba­čev­skog i uobi­ča­je­ne ge­o­me­tri­je, iz ško­le po­zna­te kao Eukli­do­ve, je u sle­de­ćem. U Eukli­do­voj ge­o­me­tri­ji kroz tač­ku pro­la­zi sa­mo jed­na pra­va, ko­ja je ra­ni­je pri­ka­za­na kao pra­va, a u ge­o­me­tri­ji Lo­ba­čev­skog je mno­go ta­kvih pra­vih. U već for­mu­li­sa­noj ak­si­o­mi ri­ječ „ne­mo­gu­će” tre­ba za­mi­je­ni­ti ri­ječ­ju „mo­gu­će”, i ak­si­o­ma u ver­zi­ji Eukli­da će se pre­tvo­ri­ti u ak­si­o­mu o pa­ra­lel­ni­ma u ver­zi­ji Lo­ba­čev­skog. Kroz tač­ku, ko­ja ne le­ži na za­da­toj pra­voj, mo­že se po­vu­ći vi­še od jed­ne pra­ve, pa­ra­lel­ne toj za­da­toj pra­voj.
Po­seb­na po­zi­ci­ja ak­si­o­me o pa­ra­lel­nim pra­vi­ma iza­zva­na je ti­me što ona ni­je to­li­ko oči­gled­na ko­li­ko dru­ge ak­si­o­me u ge­o­me­tri­ji. Uzmi­mo, na pri­mjer, ak­si­o­mu o to­me da kroz bi­lo ko­je dvi­je raz­li­či­te tač­ke pro­la­zi jed­na, i sa­mo jed­na pra­va. Nju mo­že­mo pro­vje­ri­ti eks­pe­ri­men­tal­no. Tre­ba oda­bra­ti rav­nu po­vr­ši­nu, po­bi­ti dva kol­či­ća, po­tom čvr­sto za­teg­nu­ti me­đu nji­ma ko­nac, i eto nam oči­gled­na po­tvr­da pri­su­stva pra­ve ko­ja pro­la­zi kroz dvi­je tač­ke. Ako mi uzme­mo dru­gi za­teg­nu­ti ko­nac, ko­ji po­ve­zu­je dva ista kol­či­ća, on­da će se oba kon­ca spo­ji­ti u jed­nu li­ni­ju. Za­mi­sli­mo sa­da da smo pro­ve­li pa­ra­lel­nu, i osim to­ga, kroz tu istu tač­ku, ne­ku dru­gu pra­vu, pod ve­o­ma ma­lim uglom pre­ma toj pa­ra­lel­noj. Po Eukli­do­voj ak­si­o­mi ta dru­ga pra­va oba­ve­zno pre­si­je­ca pret­hod­nu pra­vu sa ko­jom je bi­la pro­ve­de­na na­ša pa­ra­lel­na. I gdje je sa­da ta tač­ka pre­si­je­ca­nja? Pa ona mo­že da se po­ja­vi ne sa­mo van oda­bra­ne par­ce­le, do­stup­ne na­šem po­gle­du, ne­go i astro­nom­ski da­le­ko van na­še Ga­lak­ti­ke. I mo­že da se uči­ni da ne­ma dru­gog na­či­na da se uvje­ri­mo u to da ta­kva tač­ka po­sto­ji. I ka­ko on­da jed­no­stav­no po­vje­ro­va­ti u Eukli­do­vu ak­si­o­mu o pa­ra­lel­ni­ma pra­vi­ma. Ali ta­kav na­čin po­tvr­đi­va­nja či­nje­ni­ce da se ak­si­o­ma o pa­ra­lel­ni­ma ostva­ru­je u re­al­nom fi­zič­kom pro­sto­ru, za­sno­van na či­stom vje­ro­va­nju, ni­je bio po vo­lji ma­te­ma­ti­ča­ri­ma.
Zbog to­ga su se, u to­ku du­gog vre­me­na, pred­u­zi­ma­li po­ku­ša­ji da se do­ka­že tvrd­nja sa­dr­ža­na u ak­si­o­mi o pa­ra­lel­nim pra­vi­ma, po­la­ze­ći od osta­lih ak­si­o­ma, i da bi, sa­mim tim, po­ni­zi­li zna­čaj te tvrd­nje, pre­tva­ra­ju­ći je iz ak­si­o­me u te­o­re­mu. Pa ipak, svi ti po­ku­ša­ji su pro­pa­li. Kao po pra­vi­lu, sva­ki ta­kav do­kaz je ne­pri­mjet­no pro­vla­čio ne­ka­kvu ge­o­me­trij­sku tvrd­nju, ko­ja, re­klo bi se, ni­je iza­zi­va­la ni­ka­kvu sum­nju, ali je, u stva­ri, ima­la istu sna­gu kao ak­si­o­ma o pa­ra­lel­nim pra­vi­ma. Na pri­mjer, u „do­ka­zu” po­zna­tog fra­nu­skog ma­te­ma­ti­ča­ra XVI­II i XIX vi­je­ka Le­žan­dra is­ko­ri­šće­no je ne­što po­put na­iv­nog pred­lo­ga: kroz bi­lo ko­ju tač­ku unu­tar ugla mo­že se po­vu­ći pra­va ko­ja si­je­če obje stra­ne ugla. Is­po­sta­vi­lo se da taj pred­log ima istu sna­gu kao ak­si­o­ma o pa­ra­lel­nim pra­vi­ma. On, ne sa­mo što se osla­nja na tu ak­si­o­mu, ne­go se iz nje­ga, sa svo­je stra­ne, mo­že iz­ve­sti sa­ma ak­si­o­ma.
(Na­sta­vi­će se)