Preveo i priredio: Slavko Šćepanović
Mjobiusov list ima niz zapaženih svojstava. Tako on ima samo jednu stranu. Radi ubijeđenosti u to, predlažemo mogući eksperiment. Zamislimo od čvrstog materijala napravljeni i postavljeni u nemjerljivost Mjobiusov list. Zatim postavimo na njega čovjeka i zamolimo ga da se prošeta. Može se izabrati takva maršruta u kojoj će se čovjek, u nekom trenutku kretanja, osjetiti u ulozi antipoda u odnosu na položaj koji je imao u trenutku polaska u šetnju. Jasno je da ni za bočnu površinu valjka, ni za ravan, ni za sferu takva šetnja nije moguća. List papira je moguće sa jedne strane obojiti crnom bojom, a drugu stranu ostavit neobojenu. Isto tako i povšinu valjka i sferu je moguće obojiti sa jedne strane, a drugu ostaviti neobojenu. Međutim, tako postupiti sa Mjobiusovim listom nije moguće. I ravan, i površina valjka, i sfera su d v o s t r a n e površine. A Mjobiusov list je jednostrana površina.
Druga osobina Mjobiusovog lista je veoma važna za cilj našeg izlaganja. Ona se sastoji u takozvanoj nemogućnosti orijentisanosti. Mjobiusov list, kao i svaka površina, nema debljinu. Ako je na listu predstavljena silueta dlana, ne može se reći da li je to dlan lijeve ili desne ruke. To zavisi sa koje strane gledamo. Ako su, jedan pored drugog, predstavljena dva dlana, onda se može govoriti o tome da li su oni jednaki, ili je jedan odraz ogledala drugoga. Može se izvršiti takvo premještanje silueta dlanova po Mjobiusovom listu, pri čemu će se silueta vratiti na prethodno mjesto kao odraz ogledala. Takvo premještanje i znači nemogućnost orijentisanosti. Svako može provjeriti postojanje takve mogućnosti. Radi očiglednosti, korisno je zamsliti Mjobiusov list napravljen od promočivog papira, tako da ga svaki crtež, nanesen mastilom, skroz probija. Ponovo pristupamo metodi analogije i preseljavamo se iz dvodimenzionalnog u trodimenzionalni svijet. Veoma je teško zamisliti trodimenzionalnu geometijsku figuru, koja ne bi mogla da se orijentiše, to jest u čijoj je unutrašnjosti moguća trajektorija koja dovodi do ogledalskog odraza. U našem običnom trodimenzionalnom prostoru takve figure se ne mogu smjestiti, čak ni u „običnom” četvorodimenzionalnom prostoru, slično tome kao što se kompanktne, neorjentirujuće površine bez kraja ne mogu smjestiti u trodimenzionalnom prostoru. Pa ipak, ne protive se pretpostavke o postojanju takvih figura u višim dimezijama, pošto se ni dvodimenzioalni Mjobiusov list ne može smjestiti na ravni, već zahtijeva za svoje smještanje trodimenzionalni prostor. I stvarno, sva neorijenirujuća trodimenzionalna tijela se dobro osjećaju u petodimenzionalnom Euklidovom prostoru. Tako je neorijentirajuća površina ona površina po kojoj se silueta dlana desne ruke premještanjem može prokrenuti u siluetu dlana lijeve ruke. Mjobiusov list je jedna od najpoznatijih i najjednostavnijih neorijentirajućih površina. Među drugima najpoznatija je takozvana Klejnova flaša, nazvaana po imenu poznatog njemačkg matematičara Feliksa Klejna, koji ju je pustio u matematički opticaj 1874. godine. Zamislimo flašu sa vrlo dugačkim i vrlo elastičnim grlićem. Na debljinu materijala iz kojega je napravljena flaša mi ne obraćamo pažnju, jer flašu prihvatamo kao dvodimenzionalnu figuru, to jest kao površinu. Da li je moguće grlić flaše saviti toliko da on dotakne njeno dno? Razumije se da je moguće. Dodirivanje se događa sa spoljašnje strane dna. Dotaknuti grlićem flaše njeno dno iznutra nije moguće, jer bi za to grlić trebalo provući kroz zid flaše. Ali ako bismo to uspjeli, odmah bismo dobili Klejnovu flašu.
Čitalac će se zbunjeno pitati: pa zašto onda govoriti o takvoj površini koje nema, niti je može biti Ali, stvar je u tome što takva površina postoji, samo što ona „živi” u četvorodimenzionalnom prostoru. Da bi se shvatilo kako je moguće napraviti Klejnovu flašu uz pomoć četvrte dimenzije, treba se ponovo obratiti flatlandskoj analogiji. Obična flaša je dvodimenzionalna površina u trodimenzinalnom prostoru. Što je njena analogija na ravni? Je li to njena sjenka? Ne, jer analognost mora da bude za jednu dimenziju manja od okružujućeg prostora, to jest, u datom slučaju, jednodimenzionalna. Oivičimo olovkom obris sjenke, napravivši na tom obrisu prekid na mjestu otvora grlića flaše. Dobijena linija je tražena jednodimenzionalna analognost dvodimenzionalne flaše. Zamislimo tu liniju u obliku tanke i savitljive žice. U toj žičanoj figuri mogu se vidjeti dno, grlić i dva zida flaše. Može li se, ne izlazeći izvan granica ravni, saviti grlić tako da se njime dotakne dno? Razumije se da može, ali samo sa spoljašnje strane. Dodirnuti grlićem dno sa unutrašnje strane je nemoguće, jer bi se za to morao presjeći jedan od zidova flaše. Pa ipak, može se dodirnuti grlićem dno i sa unutrašnje strane, ako se dozvoli da on izađe iz granica ravni. Na mjestu gdje žičani grlić treba da presječe žičani zid, treba podići grlić iznad ravni, nadnijei ga nad zid u obliku mosta, a potom ga ponovo spustiti na ravan, ali sada već unutar flaše. I grlić će dotaći dno. A sada, naprežući fantaziju i pribjegavajući analogiji, možemo se potruditi da zamislimo savijanje grlića dvodimenzionalne flaše u četvrtu dimenziju, nakon čega će uslijediti dodirivanje dna iznutra.
I Euklidov prostor srednje škole i trodimenzionalna sfera su orijentirujući. U njima nema trajektorije koja vodi ka ogledalskom odražavnju. Ali teorijske predstave o geometrijskoj strukturi Svemira ne isključuje to što je on neorijentirujući. A tada putovanje koje dovodi putnika do ogledalskog odražavanja, može biti ostvareno i bez izlaska iz našeg trodimenzionalnog svijeta. Na taj način, nije potpuno bio u pravu pjesnik koji je rekao:
Kako je teška uvreda
Postojati, a čvrsto znati
Da iz praznih Euklidovih prostora
Nemamo kuda pobjeći.
I nije li tebi i meni potrebno
Ići u sljedeće godine,
Kao u beskonačne paralele,
Da nam se putevi nikad ne ukrste.(K R A J)
)){kind=small}
