Sa ve­li­kim na­po­rom, u svi­jest ma­te­ma­ti­ča­ra pro­ni­klo je ubje­đe­nje ko­je je, pri­je sve­ga, for­mu­li­sa­no u ak­si­o­mi o pa­ra­lel­nim pra­vi­ma. To je bi­lo te­ško shva­ti­ti i zbog to­ga što sve do kra­ja XIX vi­je­ka, ni­ka­kvih ja­snih ma­te­ma­tič­kih ak­si­o­ma uop­šte ni­je bi­lo. Za ak­si­o­me o pa­ra­lel­nim pra­vi­ma is­po­sta­vi­lo se da je od­lu­ču­ju­ća bi­la tre­ća de­ce­ni­ja XIX vi­je­ka. U tom pe­ri­o­du dva ve­li­ka ge­o­me­tra – ru­ski ma­te­ma­ti­čar Ni­ko­laj Iva­no­vič Lo­ba­čev­ski i ma­đar­ski ma­te­ma­ti­čar Ja­noš Bo­jai, pot­pno ne­za­vi­sno je­dan od dru­go­ga, stvo­ri­li su ge­o­me­trij­sku te­o­ri­ju za­zno­va­nu na od­ri­ca­nju ak­si­o­me o pa­ra­lel­nim pra­vi­ma. Ta te­o­ri­ja na­zva­na je ge­o­me­tri­ja Lo­ba­čev­skog– Bo­ja­ia, ili jed­no­stav­no ge­o­me­tri­ja Lo­ba­čev­skog. Pr­ve pu­bli­ka­ci­je o toj ge­o­me­tri­ji pri­pa­da­ju auto­ri­ma: Lo­ba­čev­skom 1829. i Bo­ja­iu 1832. go­di­ne. Nji­ho­vim pret­hod­ni­ci­ma mo­gu se sma­tra­ti nje­mač­ki prav­nik Švej­kart, ko­ji je do­šao na ide­ju o mo­guć­no­sti ta­kve ge­o­me­tri­je 1818. go­di­ne, ali ni­šta o to­me ni­je ob­ja­vio. „Kralj ma­te­ma­ti­ča­ra”, ve­li­ki Ga­us, o ko­je­mu je bi­lo ri­je­či ka­da smo go­vo­ri­li o kva­dra­tu­ri kru­ga, do­šao je na ide­ju još ra­ni­je, ali, ta­ko­đe, ni­šta o to­me ni­je ob­ja­vlji­vao, oprav­da­no ra­ču­na­ju­ći da na­uč­na jav­nost još ni­je sprem­na da pri­hva­ti ta­ko hra­bre ide­je. I stvar­no, ge­o­me­tri­ja Lo­ba­čev­skog ni­je na­i­šla na pri­zna­va­nje sa­vre­me­nih ma­te­ma­ti­ča­ra, sa iz­u­zet­kom Ga­u­sa, ko­ji ju je ci­je­nio, i čak je učio ru­ski je­zik da bi mo­gao da či­ta dje­la Lo­ba­čev­skog u ori­gi­na­lu. Ge­ni­jal­nost Lo­ba­čev­skog i Bo­a­jia bi­la je pri­zna­ta tek po­sli­je nji­ho­ve smr­ti, 1856. i 1860.go­di­ne. Ka­da je, na kra­ju, mo­guć­nost Eukli­do­ve ge­o­me­tri­je bi­la shva­će­na, do­šlo je do za­o­kre­ta, ne sa­mo u ma­te­ma­ti­ci, ne­go i u fi­lo­zo­fi­ji.
U ge­o­me­tri­ji Lo­ba­čev­skog mno­go je neo­bič­nog za nas ko­ji smo se obra­zo­va­li po Eukli­do­voj ge­o­me­tri­ji. Na pri­mjer, zbir uglo­va u sva­kom tro­u­glu je svoj, pri če­mu je uvi­jek ma­nji od 180 ste­pe­ni. Ako su tro­u­glo­vi slič­ni, on­da su jed­na­ki.
Či­ni se da je pri­rod­no pi­ta­nje: ko­ja je od ak­si­o­ma tač­na, Eukli­do­va ili Lo­ba­čev­skog. Haj­de da to raš­či­sti­mo. Ov­dje smo oba­ve­zni da se obra­ti­mo fi­lo­zof­skim pro­ble­mi­ma. Pri­je sve­ga, tre­ba shva­ti­ti što je to „isti­na”. Či­ni se da je ja­sno: isti­na je ono što od­go­va­ra re­al­nom sta­nju stva­ri. Ka­ko je to, da li u re­al­nom svi­je­tu po­sto­ji sa­mo jed­na pa­ra­lel­na pra­va, ili vi­še njih? A ni­ka­ko zbog to­ga što u re­al­nom svi­je­tu uop­šte ne­ma pra­vih, kao što ne­ma ni dru­gih ge­o­me­trij­skih pred­me­ta. Ge­o­me­trij­skih lop­ti, na pri­mjer, u pri­ro­di ne­ma. Po­sto­je sa­mo pred­me­ti ko­ji se svo­jim ob­li­kom pri­bli­ža­va­ju ge­o­me­trij­skoj lop­ti. Ta­ko je, re­ci­mo, lu­be­ni­ca u ma­njoj mje­ri lop­ta ne­go od­boj­ka­ška lop­ta, a ta lop­ta je u ma­njoj mje­ri lop­ta ne­go bi­li­jar­ska lop­ti­ca ili ku­glič­ni le­žaj. Sa pra­vi­ma je stvar još kom­pli­ko­va­ni­ja, jer pra­va je bes­ko­nač­na, i svi pri­mje­ri ko­je mi mo­že­mo na­ve­sti, bi­lo da je ta li­ni­ja na­cr­ta­na na pi­je­sku, ili na pa­pi­ru, ili za­teg­nu­ti ko­nac, ili gra­ni­ca iz­me­đu zi­da i pla­fo­na, sve one nam po­ka­zu­ju sa­mo ogra­ni­če­nje, to jest kraj­nje dje­lo­ve pra­vih li­ni­ja, od­no­sno to što se u ge­o­me­tri­ji zo­ve is­kri­vlje­ni od­sječ­ci. Pa čak ni od­sje­ča­ka, u pre­ci­znom ge­o­me­trij­skom smi­slu, u pri­ro­di ne­ma; naj­ta­nji ko­nac ima de­blji­nu, naj­ot­šli­fo­va­ni­ja po­vr­ši­na sa­mo se pri­bli­ža­va ide­al­nom ob­li­ku i pod elek­tron­skim mi­kro­sko­pom iz­gle­da kao tre­pe­re­nje. I svje­tlo­sni zrak se is­kri­vlju­je u re­al­nom pro­sto­ru. Za po­ja­vu pred­sta­ve o bes­ko­nač­noj pra­voj sa­mo je­dan oči­gled­ni na­čin je ne­do­vo­ljan. Po­treb­na je još i ma­šta. Od pr­ve po­ja­ve ge­o­me­tri­je pro­šle su hi­lja­de go­di­na, dok su lju­di po­sta­li svje­sni da mi ne mo­že­mo ne­po­sred­no pra­ti­ti tač­ke, od­sječ­ke, pra­ve, rav­ni, uglo­ve, lop­te i slič­ne ge­o­me­trij­ske pred­me­te, i za­to pred­met ge­o­me­tri­je ni­je sa­mo re­al­ni svi­jet, ne­go i svi­jet fan­ta­zi­je, pre­pu­njen tim ide­al­nim ge­o­me­trij­skim pred­me­ti­ma, ko­ji je, pri­je sve­ga, sli­čan re­al­nom svi­je­tu.
–Po­vr­ši­ne, li­ni­je, tač­ke, ka­ko ih od­re­đu­je ge­o­me­tri­ja, po­sto­je sa­mo u na­šoj uobra­zi­lji – pi­sao je 1835. go­di­ne Lo­ba­čev­ski u uvo­du u svo­je dje­lo „No­vi prin­ci­pi ge­o­me­tri­je sa pot­pu­nom te­o­ri­jom pra­vih”. Ge­o­me­trij­ske ak­si­o­me od­mah pre­ci­zi­ra­ju svoj­stva poj­mo­va pri­sut­nih u na­šoj fan­ta­zi­ji. Zna­či li to da mi mo­že­mo na­pi­sa­ti ak­si­o­me ka­kve ho­će­mo? Ne, na­rav­no, ako že­li­mo da na­ši ge­o­me­trij­ski poj­mo­vi od­ra­ža­va­ju na­še pred­sta­ve o re­al­nom fi­zič­kom pro­stran­stvu. Iako pra­ve, tač­ke i po­vr­ši­ne ne po­sto­je re­al­no, ne­ki pred­me­ti i po­ja­ve ko­je do­vo­de do tih poj­mo­va po­sto­je. Za­to pi­ta­nje tre­ba po­sta­vi­ti ova­ko: Ko­ja od ak­si­o­ma, Eukli­do­va ili Lo­ba­čev­skog, pre­ci­zni­je opi­su­ju pred­sta­ve o struk­tu­ri re­al­nog fi­zi­čog pro­sto­ra ko­ja se od­ra­ža­va ge­o­me­trij­skim ob­li­ci­ma? Pre­ci­zni od­go­vor na ovo pi­ta­nje je: ne­po­zna­to. Pa ipak, mo­že se uvjer­lji­vo tvr­di­ti da se u na­ma do­stup­nim obla­sti­ma po­sma­tra­nja pro­sto­ra Eukli­do­va ge­o­me­tri­ja mo­že uva­ža­va­ti sa vi­so­kim ste­pe­nom tač­no­sti. Ka­da go­vo­ri­mo o ne­iz­vje­sno­sti, mi ima­mo u vi­du ve­o­ma ve­li­ke obla­sti pro­sto­ra. Stvar je u to­me što su u ge­o­me­tri­ji Lo­ba­čev­skog raz­li­ke zbi­ra uglo­va tro­u­gla od 180 ste­pe­ni uto­li­ko ve­će uko­li­ko su du­že stra­ne tog tro­u­gla; što je ve­ći tro­u­gao, ti­me su ve­će na­de da se pri­mi­je­ti ta raz­li­ka i da se na taj na­čin prak­tič­no po­tvr­di ak­si­o­ma Lo­ba­čev­skog. Otu­da se po­ja­vlju­je ide­ja da se iz­mje­re tro­u­glo­vi sa vr­ho­vi­ma kod zvi­je­zda. Ta­kvim mje­re­nji­ma se ba­vio Lo­ba­čev­ski, ali se is­po­sta­vi­lo da se pre­ci­znost mjer­nih in­stru­me­na­ta po­ka­za­la kao ne­do­volj­na da bi se uoči­lo od­stu­pa­nje zbi­ra uglo­va tro­u­gla od zbi­ra dva pra­va ugla, ako ta­kvo od­stu­pa­nje uop­šte i po­sto­ji.
Da bi­smo po­ja­sni­li ka­ko mo­že bi­ti da za pro­sto­re ma­nje po­vr­ši­ne va­ži jed­na ge­o­me­tri­ja, a za ve­će dru­ga, ko­ri­sti­će­mo se sle­de­ćom ana­lo­gi­jom. Pri­li­kom sa­sta­vlja­nja pla­na te­re­na, ne­ma po­tre­be da se ra­ču­na sa lop­ta­sti­im ob­li­kom Ze­mlje, upra­vo zbog to­ga što je par­ce­la ma­la. Za­to je pri­li­kom upo­re­đi­va­nja ma­lih par­ce­la ra­zum­no po­la­zi­ti od to­ga da je Ze­mlja rav­na. Upra­vo se zbog to­ga ta za­blu­da du­go odr­ža­va­la. Pri­li­kom pra­vlje­nja kar­te Ru­si­je, mo­ra se ra­ču­na­ti na lop­ta­sti ob­lik Ze­mlje, a pri­li­kom pre­ci­znih ob­ra­ču­na na to da Ze­mlja ima ob­lik elip­se. Pri­li­kom pu­ca­nja iz pu­ške, mo­že se na kar­ti te­re­na pro­pra­ti­ti tra­jek­to­ri­ja met­ka, po­lo­živ­ši le­njir na dvi­je tač­ke: na po­lo­žaj stri­jel­ca i na cilj. Ali mar­šru­ta avi­o­na ko­ji le­ti na krat­koj li­ni­ji, na rav­noj po­vr­ši­ni iz­gle­da kao du­ga. Ana­log­no to­me, Eukli­do­va ge­o­me­tri­ja do­bro ra­di na „ma­lim”, to jest na na­ma do­stup­nim ma­lim pro­sto­ri­ma. Ali, mi ne zna­mo što se do­ga­đa „na ve­o­ma ve­li­kom” pro­sto­ru. U Uel­so­voj pri­či „Isto­ri­ja Plat­ne­ra” nje­gov he­roj Got­frid Plat­ner iz­dr­ža­va ne­ko fan­ta­stič­no pu­to­va­nje, na­kon če­ga se vra­ća kao u kri­vom ogle­da­lu. Uels tu po­ja­vu ob­ja­šnja­va kao iz­la­zak u no­vi svi­jet, u če­tvr­tu di­men­zi­ju. Te­o­rij­ske pred­sta­ve o mo­gu­ćoj ge­o­me­trij­skoj struk­tu­ri sve­mi­ra ne is­klju­ču­je to da pu­to­va­nje ko­je put­ni­ka do­vo­di do od­ra­ža­va­nja u kri­vom ogle­da­lu mo­že bi­ti re­a­li­zo­va­no i bez iz­la­ska iz na­šeg tro­di­men­zi­o­nal­nog svi­je­ta. Ovo­me će­mo se vra­ti­ti ma­lo ka­sni­je.
(Na­sta­vi­će se)

Pre­veo i pri­re­dio:
Slav­ko Šće­pa­no­vić