Preveo i priredio: Slavko Šćepanović
Nadamo se da čitaac nije došao do zaključka da sva računska mnoštva imaju jednu te istu količinu elemenata. Djelimično, količina svih kvadrata je jednaka količini svih prirodnih brojeva. Količina elemenata bilo kog računskog mnoštva naziva se računskom snagom i označava se slovom alfa sa nižim indeksom nula % o. Evo i odgovarajući citat iz istoimene Borhesove priče, sa dosta jasnom formulacijom Kortasarovog efekta:
„u Menglehre Alfa je simbol transfinitnih mnoštava gdje cijelo nije veće nego bilo koji od djelova”.
U matematci, uopšte, količina elemenata u nekom mnoštvu naziva se snagom, ili kardinalnim brojem tog mnoštva.
Pokazani način, čijim posredstvom je moguće postojanje iracionalnih i transcendentnih brojeva dobiti na osnovu opštih shvatanja, bez navođenja konkretnih primjera, mi imamo pravo da nazovemo količinskim, jer je ono zasnovano na nepodudarnosti količina, to jest računskih količina, svojstvenoj, kako mnoštvu racionalnih, tako i mnoštvu algebarskih brojeva kontinuirane količine svojstvene mnoštvu svih stvarnih brojeva.
Sada nešto o upoređivanju količina. Dvije količine mogu biti jdednake, ili nejednake. Najprije da shvatimo šta to znači. Svaka količina je predstavljena kompletom svih mogućih mnoštava ekvivalentnih jedno drugom. Jednakost količina označava podudarnost odgovarajućih kompleta, a nejednakost njihovu nepodudarnost. Sedam, prema tome nije jednako sa osam. Komplet svih mnoštava ekvivalentnih mnoštvu smrtnih grejhova se ne podudara sa kompletom svih mnoštava ekvivalentnih mnoštvu planeta. Količina kvadrata je, prema tome, jednaka količini pirodnih brojeva, kao što je komplet svih mnoštava ekvivalentnih mnoštvu kvadrata, podudaran sa količinom svih mnoštava ekvivalentnih prirodnom nizu. Ali, željeli bismo da imamo pravo da govorimo ne samo o jednakosti i nejednakosti dvije količine, nego i o tome koja je od njih veća, a koja manja.
Pitaćemo sada nama već poznate prvobitne stočare, koji ne umiju da broje, mogu li oni utvrditi u kojem je od njihovih stada više grla, pod pretpostavkom da su stada različita po broju. Njihov odgovor će biti pozitivan. Ako u stadu koza uspiju da odvoje dio koji se ne podudara sa čitavm stadom, koje je ekvivalentno sa mnštvom ovaca, onda proizilazi da je veći broj u stadu koza. Isto tako, ako u stadu ovaca uspiju da izdvoje takav dio koji nije podudaran sa čitavim stadom, a podudaran je sa stadom koza, onda ispada da je veći broj grla u stadu ovaca. Pa ipak, ovakav način, kao što smo već vidjeli, nije pogodan u slučaju beskonačnih mnoštava. I stvarno, u prirodnom nizu možemo izdvojiti dio oji se sa njim ne podudara, koji je ekvivalentan mnoštvu kvadrata. Tim prije, prirodni niz i mnoštvo kvadrata, kao što smo već vidjeli, su ekvivalentni. Šta da se radi? Treba izmisliti takav kriterij koji djeluje pimjenljivo na bilo koja mnoštva. Rješenje se sastoji u tome da svaki od pominjanih stočara svojoj formulaciji doda neku klauzulu, koja bi bila suvišna u prvom slučaju, ali neophodna u slučaju beskonačnosti. Klauzla se sastoji u potrebi neekvivalentnosti mnoštava koja se upoređuju. Puna formulacija toga da je količina elemenata prvog mnoštva takva, da su mnoštva neekvivalentna, ali u prvom mnoštvu postoji dio koji je ekvivalentan drugom mnoštvu.
Sada možemo reći da je kontinuirana snaga veća od računske. U stvari, te snage su različite, ali da se u kontinuiranom mnoštvu stvarnih brojeva može odvojiti računski dio, na primjer, prirodni niz. Računski dio se može odvojiti u bilo kom beskonačnom mnoštvu. Zbod toga je računska snaga najmanja od svih bskonačnih snaga. Jedna od Kantorovih teorema tvrdi da je količina svakog mogućeg dijela uvijek veća nego količina elemenata u samom tom mnoštvu. Posebno, količina svih djelova prirodnog niza je veća od računske količine prirodnih brojeva, jer je ona beskonačna. A količia svih djelova prave linije je veća od kontinurane količine tačaka na njoj.
(Nastaviće se)