Pre­veo i pri­re­dio: Slav­ko Šće­pa­no­vić


Pu­an­ka­re­o­va hi­po­te­za je ne­ka­ko od­jed­nom do­bi­la kva­li­tet­ni ka­rak­ter, kao i sva ta oblast ma­te­ma­ti­ke, na ko­ju se ona od­no­si, i u ko­joj Pu­an­ka­re ula­že od­lu­ču­ju­će uče­šće. Na sa­vre­me­nom je­zi­ku Pu­an­ka­re­o­va hi­po­te­za zvu­či ova­ko: sva­ka jed­no­ve­zna, kom­pakt­na, tro­di­men­zi­o­nal­na ra­zno­vr­snost je bes­kraj­no go­me­o­morf­na tro­di­men­zi­o­nal­noj sfe­ri. U slje­de­ćim re­dvi­ma mi će­mo se po­tru­di­ti da, ma­kar pr­bli­žno, ob­ja­sni­mo smi­sao ove za­stra­šu­ju­će slo­ve­sne for­mu­le.
Za po­če­tak, pi­mi­je­ti­će­mo da obič­na sfe­ra, ko­ja je po­vr­ši­na obič­ne lop­te, dvo­di­men­zi­o­nal­na. Dvo­di­men­zi­o­nal­na sfe­ra se sa­sto­ji od svih ta­ča­ka tro­di­men­zi­o­nal­nog pro­sto­ra, ko­je su jed­na­ko uda­lje­ne od ne­ke odvo­je­ne tač­ke, na­zva­ne cen­trom ne­pri­pa­da­ju­će joj sfe­re. Tro­di­men­zi­o­nal­na sfe­ra se sa­sto­ji iz svih ta­ča­ka če­tvo­ro­di­men­zi­o­nal­nog pro­sto­ra, jed­na­ko uda­lje­nih od svog cen­tra. Za raz­li­ku od dvo­di­men­zi­o­nal­nih sfe­ra, tro­di­men­zi­o­nal­ne sfe­re su ne­do­stup­ne na­šem ne­po­sred­nom po­sma­tra­nju, i na­ma je te­ško da ih za­mi­sli­mo, isto kao Va­si­li­ji Iva­no­vi­ču, iz po­zna­te aneg­do­te kva­drat­nih tro­čla­no­va. Ipak, ni­je is­klju­če­no da se svi mi na­la­zi­mo u tro­di­men­zi­o­nal­noj sfe­ri, to jest da je naš sve­mir tro­di­men­zi­o­nal­na sfe­ra. U to­me se i sa­sto­ji zna­čaj Pe­relj­me­no­vih re­zul­ta­ta za fi­zi­ku i astro­no­mi­ju. Sin­tag­ma: „jed­no­ve­zna, kom­pakt­na, tro­di­men­zi­o­nal­na bes­ko­nač­na, ra­zno­vr­snost” sa­dr­ži uka­zi­va­nje na pret­po­sta­vlje­na svoj­stva na­šeg sve­mi­ra. Ter­min „go­me­o­morf­no” ozna­ča­va vi­so­ki ste­pen slič­no­sti, ta­ko da, u iz­vje­snom smi­slu, ne­ma raz­li­ke. Pre­ma to­me, for­mu­la­ci­ja u cje­li­ni ozna­ča­va da, ako naš sve­mir po­sje­du­je sva svoj­stva jed­no­ve­za­ne kom­pakt­ne, tro­di­men­zi­o­nal­ne, bes­ko­nač­ne ra­zno­vr­sno­sti, on­da je on u tom sa­mom „izvjsnom smi­slu” tro­di­men­zi­o­nal­na sfe­ra.
Po­jam jed­no­ve­za­no­sti je do­sta jed­no­sta­van po­jam. Za­mi­sli­mo kan­ce­la­rij­sku gu­mi­cu, to jest gu­me­ni ko­nac sa za­li­je­plje­nim kra­je­vi­ma, to­li­ko ela­stič­nu da će se ona, ako je ne za­dr­ži­mo, steg­nu­ti u tač­ku. Od na­še gu­mi­ce mi će­mo oče­kiv­ti da ona, pri­li­kom sku­plja­nja u jed­nu tač­ku, ne iz­la­zi van gra­ni­ca po­vr­ši­ne na ko­ju smo je smje­sti­li. Ako mi ta­kvu gu­mi­cu ras­teg­ne­mo na rav­noj po­vr­ši­ni, pa je ot­pu­sti­mo, ona će se od­mah sku­pi­ti u tač­ku. To će se do­go­di­ti, ako mi gu­mi­cu raz­mje­sti­mo na po­vr­ši­nu glo­bu­sa, to jest na sfe­ri. Kad je u pi­ta­nju po­vr­ši­na gu­me­nog po­ja­sa za spa­sa­va­nje, si­tu­a­ci­ja je sa­svim dru­gač­ja: Lju­ba­zni či­ta­lac će la­ko na­ći ta­kav po­lo­žaj gu­mi­ce na toj po­vr­ši­ni, na ko­joj je gu­mi­cu ne­mo­gu­će sku­pi­ti u tač­ku, a da ona ne iza­đe iz gra­ni­ca po­sma­tra­ne po­vr­ši­ne. Ge­o­me­trij­ska fi­gu­ra se na­zi­va jed­no­po­ve­za­na, ako bi­lo ko­ji za­tvo­re­ni obris, ko­ji se na­la­zi van gra­ni­ca te fi­gu­re, mo­že da se sku­pi u tač­ku, a da ne iz­la­zi van po­me­nu­te gra­ni­ce. Mi tek što smo se uvje­ri­li da su ra­van i sfe­ra jed­no­po­ve­za­ni, a da po­vr­ši­na po­ja­sa za spa­sa­va­nje ni­je jed­no­po­ve­za­na. Ni­je jed­no­po­ve­za­na ni ra­van, sa u njoj iz­re­za­nom ru­pom. Po­jam jed­no­po­ve­za­no­sti je pri­mje­njiv i kod tro­di­men­zi­o­nal­nih fi­gu­ra. Ta­ko su lop­ta i koc­ka jed­no­po­ve­za­ni i obris de­blji od njih se mo­že sku­pi­ti u tač­ku, pri če­mu, u pro­ce­su ste­za­nja obris mo­ra stal­no bi­ti iste de­blji­ne. A đe­vrek, re­ci­mo, ni­je jed­no­po­ve­zan. Na nje­mu se mo­že na­ći ta­kav obris ko­ji se ne mo­že steg­nu­ti u tač­ku, ta­ko da se u či­ta­vom pro­ce­su ste­za­nja obris na­la­zi u ti­je­stu đe­vre­ka. Ni­je jed­no­po­ve­za­na ni pe­re­ca. Mo­že se do­ka­za­ti da je tro­di­me­zi­o­nal­na sfe­ra jed­no­po­ve­za­na.
Na­da­mo se da či­ta­lac ni­je za­bra­vio raz­li­ku iz­me­đu od­sječ­ka i in­ter­va­la, ko­ja se uči u ško­li. Od­re­zak ima dva kra­ja, i on se sa­sto­ji iz ta dva kra­ja i svih ta­ča­ka ras­po­re­đe­nih me­đu nji­ma. A in­ter­val se sa­sto­ji sa­mo iz svih ta­ča­ka ras­po­re­đe­nih me­đu nje­go­vim kra­je­vi­ma. Sa­mi kra­je­vi u sa­stav in­ter­va­la ne ula­ze. Mo­že se re­ći da je in­ter­val od­sje­čak sa, iz nje­ga uda­lje­nim kra­je­vi­ma, a od­sje­čak je in­ter­val sa nje­mu do­da­tim kra­je­vi­ma. In­ter­val i od­sje­čak su naj­jed­no­stav­ni­ji pri­mje­ri jed­no­di­men­zi­o­nal­nih ra­zno­vr­sno­sti. Pri tom je in­ter­val ra­zno­vr­snost bez ivi­ce, a od­sje­čak rav­no­vr­snost sa kra­jem. Ivi­ca se kod od­sječ­ka sa­sto­ji od dva kra­ja. Glav­no svoj­stvo ra­zno­vr­sno­sti, ko­je le­ži u osno­vi nji­ho­vog opre­dje­lje­nja, sa­sto­ji se u to­me što su ra­zno­vr­sno­sti oko­li­ne svih ta­ča­ka pot­pu­no jed­na­ke. Pri­tom oko­li­nom bi­lo ko­je tač­ke A na­zi­va­mo cje­lo­kup­nost svih tač­ka ras­po­re­đe­nih u bli­zi­ni te tač­ke A. Mi­kro­skop­sko bi­će, ko­je ži­vi u neo­gra­ni­če­noj ra­zno­bra­zno­sti, i u mo­guć­no­a­sti je da vi­di sa­mo se­bi bli­že tač­ke te ra­zno­vr­sno­sti, ni­je u sta­nju da od­re­di u ko­joj se, upra­vo, tač­ki ono na­la­zi. Oko se­be ono uvi­jek vi­di jed­no te isto. Evo još pri­mje­ra jed­no­di­men­zi­o­nal­nih bes­ko­nač­nih vi­še­o­bra­zno­sti: či­ta­va pra­va li­ni­ja u cje­li­ni, kru­žni­ca. Kao pri­mjer jed­no­di­men­zi­o­nal­ne fi­gu­re, ko­ja ni­je vi­še­o­bra­zna, mo­že da po­slu­ži li­ni­ja u ob­li­ku slo­va T. Ov­dje po­sto­ji po­seb­na tač­ka, či­ja oko­li­na ne li­či na oko­li­nu dru­gih ta­ča­ka. To je tač­ka u ko­joj se sa­sta­ju tri od­sječ­ka. Dru­gi pri­mjer jed­no­di­men­zi­o­nal­nih ne­raz­no­vr­sno­sti je li­ni­ja u ob­li­ku osmi­ce. U po­seb­noj tač­ki ov­dje se sa­sta­ju če­ti­ri li­ni­je. Ra­van, sfe­ra i po­vr­ši­na po­ja­sa za spa­sa­va­nje, i slu­že kao pri­mje­ri dvo­di­men­zi­o­nal­nih neo­gra­ni­če­nih ra­zno­vr­sno­sti. Ra­van sa iz­re­za­nom u njoj ru­pom je, ta­ko­đe, ra­zno­vr­snost, a da li je ogra­ni­če­na, ili neo­gra­ni­če­na, za­vi­si od to­ga ku­da je usmje­ren obris ru­pe. Ako usmje­ri­mo obris ka ru­pi, do­bi­će­mo neo­gran­če­nu ra­zno­vr­snost, a ako obris osta­vi­mo na rav­noj po­vr­ši­ni, do­bi­će­mo ogra­ni­če­nu ra­zno­vr­snost. Ra­zu­mi­je se, mi smo ov­dje ima­li u vi­du ide­al­no ma­te­ma­tič­ko iz­re­zi­va­nje, a pri ide­al­nom fi­zič­kom iz­re­zi­va­nju ma­ka­za­ma, pi­ta­nje ku­da je usmje­ren obris, ne­ma ni­ka­kvog smi­sla.
(Na­sta­vi­će se)