Pre­veo i pri­re­dio: Slav­ko Šće­pa­no­vić


Če­sto se pred­sta­ve o struk­tu­ri Sve­mi­ra, ko­je je na­u­ka uvr­sti­la u spi­sak po­tvr­đe­nih, či­ne pa­ra­dok­sal­nim. Sa­da je svi­ma već po­znat ta­ko­zva­ni p a r a d o k s b l i z a n a c a. Ako je­dan od bli­za­na­ca iz­vr­ši ko­smič­ko pu­to­va­nje, a dru­gi osta­ne na Ze­mlji, is­po­sta­vi­će se da je u mo­men­tu vra­ća­nja iz ko­smo­sa, ko­smo­na­ut mla­đi od svog bra­ta bli­zan­ca. Ako je pu­to­va­nje bi­lo ubr­za­no i tra­ja­lo du­že, on­da će raz­li­ka u sta­ro­sti bi­ti ve­ća i oči­gled­na. Sa­da će­mo mi opi­sa­ti dru­gu po­ja­vu, p a r a d o k s o d r a z a o g l e d a l a. Ne­po­zna­to je da li se ta­kav pa­ra­doks sre­ta ne­gdje u re­al­no­sti. Za raz­li­ku od pa­ra­dok­sa bli­za­na­ca, ko­jim se pri­ka­zu­ju re­al­ne oso­bi­ne struk­tu­re svi­je­ta, mo­guć­nost ostva­re­nja pa­ra­dok­sa od­ra­za ogle­da­la je či­sto te­o­ret­ska, i ona se, pri­je sve­ga, ne opo­vr­ga­va.
Još ma­lo o pa­ra­dok­su od­ra­za ogle­da­la. G. Uels je 1896. go­di­ne, na­pi­sao „Plat­ne­ro­vu isto­ri­ju”, već po­mi­nja­nu pri­ču o to­me ka­ko je škol­ski na­stav­nik Got­frid Plat­ner iz­dr­žao fan­ta­stič­no pu­to­va­nje, po­sli­je če­ga se vra­tio sa od­ra­zom ogle­da­la. Pri­je pu­to­va­nja on je imao nor­mal­nu gra­đu ti­je­la, sa iz­u­zet­kom ma­le asi­me­tri­je: „Li­je­vo oko mu je bi­lo ma­lo ve­će od de­snog i vi­li­ca mu je bi­la ma­lo ni­ža sa li­je­ve stra­ne. A evo ka­ko je on iz­gle­dao na­kon po­vrat­ka sa pu­to­va­nja: De­sno oko mu je bi­lo ma­lo ve­će od li­je­vog, i vi­li­ca je sa de­sne stra­ne bi­la ma­lo te­ža. Sr­ce mu je ku­ca­lo na de­snoj stra­ni. Svi dru­gi ne­si­me­trič­ni dje­lo­vi nje­go­vog ti­je­la ni­je­su bi­li ras­po­re­đe­ni na svo­jim mje­sti­ma. De­sni dio nje­go­ve je­tre bio je na li­je­voj stra­ni i ana­log­no to­me plu­ća su bi­la za­lu­ta­la na de­snu stra­nu. Mo­gao je da pi­še sa­mo li­je­vom ru­kom, i to s de­sna na li­je­vo.
Te pro­mje­ne ko­je su se do­go­di­le Plat­ne­ru sa iz­la­skom u dru­gi svi­jet, u če­tvr­tu di­men­zi­ju, Uels ob­ja­šnja­va ova­ko: „Ako vi od pa­pi­ra iz­re­že­te­te bi­lo ko­ju fi­gu­ru, ko­ja ima de­snu i li­je­vu stra­nu, vi mo­že­te la­ko pre­mje­sti­ti te stra­ne, ako po­dig­ne­te i pre­vr­ne­te tu fi­gu­ru. Ali ako je pred­met obim­ni­ji, stvar je ne­što dru­ga­či­ja. Ma­te­ma­ti­ča­ri te­o­re­ti­ča­ri nam ka­žu da je je­di­ni na­čin na ko­ji se li­je­va i de­sna stra­na čvr­stog ti­je­la mo­gu pro­mi­je­ni­ti, je­ste da iz­u­zme­mo ti­je­lo iz pro­sto­ra, iz­vu­če­mo ga iz obič­nih uslo­va i pre­mje­sti­mo ne­gdje van tog pro­sto­ra. Pro­mje­ne kod Plat­ne­ra mje­sta li­je­vih i de­snih dje­lo­va ti­je­la ni­je­su ni­šta dru­go ne­go do­kaz da je on pre­la­zio iz na­šeg pro­sto­ra u ta­ko­zva­nu če­tvr­tu di­men­zi­ju, a po­tom se po­no­vo vra­tio u naš svi­jet.
Ov­dje je su­štin­ska ogra­da sta­vlje­na pod na­vod­ni­ci­ma „...u tom ob­li­ku u ko­je­mu mi shva­ta­mo pro­stor...” ima se u vi­du stan­dard­no, škol­sko shva­ta­nje pro­sto­ra. Ma­te­ma­ti­ča­ri su, ipak, pro­na­šli te­o­rij­sku mo­guć­nost ta­kvog ob­li­ka tro­di­men­zi­o­nal­nog pro­sto­ra da mo­gu pro­mi­je­ni­ti mje­sta de­sni i li­je­vi dje­lo­vi ti­je­la i bez iz­la­ska iz gra­ni­ca tog po­sto­ra. Pri stan­dard­nom, škol­skom shva­ta­nju ob­li­ka tro­di­men­zi­o­nal­nog pro­sto­ra ko­ji nas okru­žu­je, stvar­no ni­ka­kvim pre­mi­je­šta­njem u tom pro­sto­ru ni­je mo­gu­će pre­o­kre­nu­ti ša­ku de­sne, u ša­ku li­je­ve ru­ke. Ali to je ne­mo­gu­će, upra­vo, pri stan­dard­nom škol­skom shva­ta­nju. Po­sto­je, ipak, i dru­gi ob­li­ci po­sto­ra, ko­ji do­zvo­lja­va­ju ta­kvo pre­mje­šta­nje. Po­ku­ša­će­mo da ob­ja­sni­mo ka­ko to mo­že bi­ti.
Ka­ko is­prav­no pri­mje­ću­je Uels, od pa­pi­ra iz­re­za­na si­lu­e­ta de­snog dla­na ne mo­že se pre­o­kre­nu­ti u si­lu­e­tu li­je­vog dla­na, ogra­ni­ča­va­ju­ći se pre­mje­šta­njem po rav­noj po­vr­ši­ni sto­la. Da bi­smo to ura­di­li, tre­ba po­di­ći si­lu­e­tu iz­nad sto­la, to jest iza­ći u tre­ću di­men­zi­ju, pre­vr­nu­ti si­lu­e­tu i po­no­vo je po­sta­vi­ti na sto. Po­sto­ji, ipak, ta­kva po­vr­ši­na na ko­joj se mo­že pre­mje­šta­ti de­sno u li­je­vo. Dva nje­mač­ka ma­te­ma­ti­ča­ra, Be­neg­dit Li­sting i Av­gust Fer­di­nand Mjo­bi­us, ne­za­vi­sno je­dan od dru­go­ga, ot­kri­li su to 1858. go­di­ne. Po ime­nu jed­no­ga od njih ta po­vr­ši­na je na­zva­na Mjo­bi­u­sov list.
Lik Mjo­bi­u­so­vog li­sta mo­že­mo sre­sti na ko­ri­ca­ma ma­te­ma­tič­kih iz­da­nja i na znač­ka­ma ma­te­ma­tič­kih udru­že­nja. Pred­la­že­mo lju­ba­znom či­ta­o­cu da sam na­pra­vi ta­kvu zna­me­ni­tu po­vr­ši­nu. To je jed­no­stav­no ura­di­ti. Ako uzme­mo pa­pir­nu tra­ku i za­li­je­pi­mo nje­ne če­o­ne kra­je­ve, do­bi­će­mo nje­nu boč­nu po­vr­ši­nu, ko­ja će, isto­vre­me­no bi­ti boč­na po­vr­ši­na valj­ka. Ako pri­je li­je­plje­nja tra­ku za­vr­ne­mo do sto osam­de­set ste­pe­ni, od­mah će­mo do­bi­ti Mjo­bi­u­sov list. Da bi­smo iz­bje­gli ne­spo­ra­zum, po­no­vi­će­mo ovo je­zi­kom ma­te­ma­ti­ke. Tre­ba uze­ti pra­vo­u­ga­o­nik ABCD, ko­je­mu je stra­na AB pa­ra­lel­na sa stra­nom CD, a stra­na AD pa­ra­lel­na sa stra­nom BC i za­li­je­pi­ti jed­nu s dru­gom stra­ne AD BC (če­li­ma). Li­je­plje­nje se mo­že iz­vr­ši­ti na raz­ne na­či­ne. Ako to ura­di­mo bez za­vr­ta­nja, tač­ka A će se za­li­je­pi­ti sa tač­kom B, a tač­ka C sa tač­kom D, i ta­ko će­mo do­bi­ti Mjo­bi­u­sov list. Do­ga­đa se, ako opa­še­mo i za­teg­ne­mo ka­iš, vi će­te osje­ti­ti da je ka­iš pre­za­teg­nut. Ta­ko pre­za­te­nu­ti ka­iš mo­že da po­slu­ži kao pri­mjer za Mjo­bi­u­sov list.
(Na­sta­vi­će se)