Pre­veo i pri­re­dio: Slav­ko Šće­pa­no­vić


Sim­pli­čio: Ja od­lič­no znam da se kva­drat­nim mo­gu sma­tra­ti oni bro­je­vi ko­ji su na­sta­li mno­že­njem bi­lo ko­jeg bro­ja sa sa­mim so­bom. U tom smi­slu bro­je­vi če­ti­ri i de­vet, i ta­ko da­lje, su kva­drat­ni, jer su do­bi­je­ni mno­že­njem bro­je­va dva, od­no­sno tri, sa sa­mi­ma so­bom.
Salj­vi­a­ti: Sjaj­no. Vi, na­rav­no, zna­te i to da se pro­iz­vo­di bro­je­va na­zi­va­ju kva­dra­ti­ma, kao oni ko­ji ih obra­zu­ju, to jest, ko­ji su po­mno­že­ni, i ko­ji no­se na­ziv stra­na ili ko­ri­je­na. Me­đu­tim, dru­gi bro­je­vi ko­ji ni­je­su pro­iz­vo­di dva jed­na­ka mno­ži­te­lja ni­je­su kva­dra­ti. Ako ja sa­da ka­žem da je ko­li­či­na svih bro­je­va za­jed­no, kva­dra­ta i ne­kva­dra­ta, ve­ća ne­go sa­mo kva­dra­ta, da li će ta­kva tvrd­nja bi­ti tač­na, ili ne­će?
Sim­pli­čio: Ne mo­gu se to­me pro­ti­vi­ti.
Salj­vi­a­ti: A ako vas ja sa­da pi­tam ko­li­ki je broj kva­dra­ta, je li ta­čan od­go­vor da ih je to­li­ko ko­li­ko po­sto­ji ko­ri­je­na, bu­du­ći da sva­ki kva­drat ima svoj ko­ri­jen, i sva­ki ko­ri­jen ima svoj kva­drat, te da ni­je­dan kva­drat ne mo­že ima­ti vi­še od jed­nog ko­ri­je­na, i ni­je­dan ko­ri­jen ne mo­že ima­ti vi­še od jed­nog kva­dra­ta?
Sim­pli­čio: Sa­svim tač­no.
Salj­vi­a­ti: Ali ako ja da­lje pi­tam: ko­li­ki je broj ko­ri­je­na, vi ne­će­te od­ri­ca­ti da je broj ko­ri­je­na jed­nak ko­li­či­ni svih bro­je­va uop­šte, za­to što ne­ma ni­jed­nog bro­ja ko­ji ne bi mo­gao bi­ti ko­ri­jen ne­kog kva­dra­ta. Ako smo to utvr­di­li, on­da tre­ba re­ći da je broj kva­dra­ta jed­nak ko­li­či­ni svih bro­je­va, jer je, upra­vo, to­li­ki broj ko­ri­je­na ko­li­ko je ukup­no bro­je­va. Me­đu­tim, mi smo ra­ni­je re­kli da je ukup­na ko­li­či­na svih bro­je­va ve­ća od bro­ja kva­dra­ta, jer je ve­ći dio bro­je­va ko­ji ni­je­su kva­dra­ti”.
„Što tre­ba ura­di­ti da bi se na­šao iz­laz iz ta­kve si­tu­a­ci­je?” – zbu­nje­no je pi­tao još je­dan uče­snik ra­zo­vo­ra, Sa­gre­do. Mo­gu­ća su dva iz­la­za. Pr­vi se sa­sto­ji u to­me da se od­u­sta­ne od upo­re­đi­va­nja bes­ko­nač­nih ko­li­či­na po nji­ho­voj ve­li­či­ni, i da se pri­zna da u po­gle­du te dvi­je ko­li­či­ne ne tre­ba čak ni pi­ta­ti da li su one jed­na­ke, i da li je pr­va ve­ća od dru­ge, ili dru­ga od pr­ve, jer su i jed­na i dru­ga bes­ko­nač­ne, i ti­me je sve ka­za­no. Ta­kav iz­laz i pred­la­že Ga­li­lej kroz usta Salj­vi­a­ti­ja. Ali je mo­guć i dru­gi iz­laz. Mo­že se pred­lo­ži­ti za­jed­nič­ka še­ma upo­re­đi­va­nja bi­lo ko­jih ko­li­či­na po nji­ho­voj ve­li­či­ni. U slu­ča­ju ogra­ni­če­nih ko­li­či­na ta še­ma se ne­će ra­zi­la­zi­ti sa na­šim na­vi­ka­ma. Za bes­ko­nač­ne ko­li­či­ne, ako se za­mi­sli­mo, ona, ta­ko­đe, ne­će pro­ti­vr­je­či­ti, ma­da bi mo­gla zbog to­ga što ni­ka­kvih na­vi­ka ope­ri­sa­nja sa bes­ko­nač­no­sti­ma kod nas ne­ma. Upra­vo je ovaj iz­laz pri­hva­ćen u ma­te­ma­ti­ci. Idu­ći na­pri­jed uka­za­će­mo na to da ako kva­dra­ti­ma do­da­mo ko­li­ko god ho­će­mo ne­kva­dra­ta, on­da će do­bi­je­na pro­ši­re­na cje­lo­kup­nost bro­je­va bi­ti jed­na­ka po ko­li­či­ni po­la­znoj cje­lo­kup­no­sti kva­dra­ta (Kor­ta­sa­rov efekt). Mo­gu­će je do­da­ti sve ne­kva­dra­te i na taj na­čin do­bi­ti cje­lo­kup­nost svih bro­je­va. Sa­mim tim se is­po­sta­vlja da je ko­li­či­na svih bro­je­va stvar­no jed­na­ka ko­li­či­ni svih kva­dra­ta, ma­da kva­dra­ti či­ne sa­mo dio bro­je­va. Ta po­ja­va jed­na­ko­sti po ko­li­či­ni cje­lo­kup­no­sti i nje­nog sop­stve­nog di­je­la je za ogra­ni­če­nu cje­lo­kup­nost ne­mo­gu­ća, a za cje­lo­kup­nost bes­ko­nač­nih je mo­gu­ća, i sa­ma ta mo­guć­nost mo­že da slu­ži kao jed­no od od­re­đe­nja bes­ko­nač­no­sti.
Sa­mo što na­ve­de­na oso­bi­na cje­lo­kup­no­sti ni­je ta­ko te­ška za shva­ta­nje kao što se mo­že uči­ni­ti. Mi će­mo sa­da po­ku­ša­ti da to ob­ja­sni­mo. Sa­ma lo­gič­ka kon­struk­ci­ja je jed­no­stav­na, pre­fi­nje­na i po­uč­na. Na­da­mo se da će se či­ta­lac slo­ži­ti da je uklju­či u svoj in­te­lek­tu­al­ni pr­tljag, i to u svoj­stvu ruč­nog pr­tlja­ga, a ne te­škog pred­me­ta ko­ji tre­ba pre­da­va­ti pr­tlja­žnom odje­lje­nju.
Za po­če­tak, pre­sta­će­mo da iz­bje­ga­va­mo ter­min mno­štvo, što smo ra­di­li do sa­da, sti­dlji­vo ga za­mje­nju­ju­ći ter­mi­nom cje­lo­kup­nost. Mno­štvo se sa­sto­ji od ele­me­na­ta, ko­jih ne mo­ra bi­ti mno­go. Mo­gu po­sto­ja­ti mno­štva ko­ja se sa­sto­je od sa­mo jed­nog ele­men­ta, čak i pra­zna mno­štva ko­ja ne­ma­ju ni­je­dan ele­me­nat. Ali či­ta­lac će pi­ta­ti: za­što da raz­ma­tra­mo ta­kve pa­to­lo­ške tvo­re­vi­ne, kao što je pra­zno mno­štvo. I mi će­mo mu od­go­vo­ri­ti: to je do­bro. Udob­no je ima­ti pra­vo go­vo­ri­ti, na pri­mjer, o mno­štvu slo­no­va u zo­o­lo­škom vr­tu gra­da N, ne zna­ju­ći ra­ni­je da li u tom zo­o­lo­škom vr­tu ima ma­kar i je­dan slon. Uzmi­mo bi­lo ko­je mno­štvo, me­đu nje­go­vim dje­lo­vi­ma ima i ra­znih mno­šta­va. Ta­ko je, me­đu dje­lo­vi­ma mno­štva svih slo­no­va na Ze­mlji­noj ku­gli sa­dr­ža­no, ne sa­mo mno­štvo slo­no­va Mo­skov­skog zo­o­lo­škog vr­ta, ne­go i mno­štvo slo­no­va bi­lo ko­jeg zo­ol­škog vr­ta ko­ji ne­ma ni­jed­nog slo­na. Da bi bio iz­bjeg­nut ne­spo­ra­zum, pri­mi­je­ti­će­mo da je pra­zno mno­štvo slo­no­va, i pra­zno mno­štvo mu­va, jed­no te isto mno­štvo.
(Na­sta­vi­će se)